Найдите угол \(\displaystyle ACO {\small ,}\) если его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности, \(\displaystyle O\) – центр окружности, сторона \(\displaystyle CO\) пересекает окружность в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) (см. рисунок), а дуга \(\displaystyle AD\) окружности, заключённая внутри этого угла, равна \(\displaystyle 116^\circ {\small .}\) Ответ дайте в градусах.
По свойству касательной к окружности
Свойство касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
получаем:
\(\displaystyle \angle CAO=90^{\circ}{\small .} \)
Поскольку дуга \(\displaystyle AD\) меньше полуокружности, то по определению градусной меры дуги окружности
Градусная мера дуги окружности
Градусная мера полуокружности равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB{\small .}\)
Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB{\small .}\)
получаем:
\(\displaystyle {\angle AOD}={\overset{\smile}{AD}}=116^{\circ}{\small .} \)
Углы \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle AOD\) смежные. Так как сумма смежных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то
\(\displaystyle \angle AOC=180^{\circ}-\angle AOD=180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ} {\small .}\)
Рассмотрим треугольник \(\displaystyle CAO {\small .}\)
Так как сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то
\(\displaystyle \angle ACO=180^{\circ}-\angle CAO - \angle AOC=180^{\circ}-90^{\circ}-64^{\circ}=26^{\circ} {\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle 26 {\small .}\)